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不要被阶乘吓倒

点滴 admin 6年前 (2014-03-03) 2150次浏览 已收录 扫描二维码

阶乘(Factorial)是个很有意思的函数,但是不少人都比较怕它,我们来看看两个与阶乘相关的问题:
1、 给定一个整数N,那么N的阶乘N!末尾有多少个0呢?例如:N=10,N!=3 628 800,N!的末尾有两个0。
2、求N!的二进制表示中最低位1的位置。
有些人碰到这样的题目会想:是不是要完整计算出N!的值?如果溢出怎么办?事实上,如果我们从”哪些数相乘能得到10″这个角度来考虑,问题就变得简单了。
首先考虑,如果N!= K×10^M,且K不能被10整除,那么N!末尾有M个0。再考虑对N!进行质因数分解,N!=(2^x)×(3^y)×(5^z)…,由于10 = 2×5,所以M只跟X和Z相关,每一对2和5相乘可以得到一个10,于是M = min(X, Z)。不难看出X大于等于Z,因为能被2整除的数出现的频率比能被5整除的数高得多,所以把公式简化为M = Z。
根据上面的分析,只要计算出Z的值,就可以得到N!末尾0的个数。
【问题1的解法一】
要计算Z,最直接的方法,就是计算i(i =1, 2, …, N)的因式分解中5的指数,然后求和:
复制代码 代码如下:

ret = 0; 
for(i = 1; i = N; i++) 
{ 
j = i; 
while(j % 5 ==0) 
{ 
ret++; //统计N的阶乘中那些能够被5整除的因子的个数
j /= 5; 
}
}

【问题1的解法二】
公式:Z = [N/5] +[N/5^2] +[N/5^3] + …(不用担这会是一个无穷的运算,因为总存在一个K,使得5^K N,[N/5^K]=0。)
公式中,[N/5]表示不大于N的数中5的倍数贡献一个5,[N/5^2]表示不大于N的数中5^2的倍数再贡献一个5,……代码如下:
复制代码 代码如下:

ret = 0; 
while(N) 
{
ret += N / 5; 
N /= 5;
}

问题2要求的是N!的二进制表示中最低位1的位置。给定一个整数N,求N!二进制表示的最低位1在第几位?例如:给定N = 3,N!= 6,那么N!的二进制表示(1 010)的最低位1在第二位。
为了得到更好的解法,首先要对题目进行一下转化。
首先来看一下一个二进制数除以2的计算过程和结果是怎样的。
把一个二进制数除以2,实际过程如下:
判断最后一个二进制位是否为0,若为0,则将此二进制数右移一位,即为商值(为什么);反之,若为1,则说明这个二进制数是奇数,无法被2整除(这又是为什么)。
所以,这个问题实际上等同于求N!含有质因数2的个数+1。即答案等于N!含有质因数2的个数加1。 实际上N!都为偶数,因为质因数里面都有一个2,除了1以外,因为1的阶乘是1,是个奇数,其他数的阶乘都是偶数。。
【问题2的解法一】
由于N! 中含有质因数2的个数,等于 N/2 + N/4 + N/8 + N/16 + …[1],
根据上述分析,得到具体算法,如下所示:
复制代码 代码如下:

/*
可以先求出N!中2的个数(因为每存在一个2,则在数的 
最低位多1个0)。因此求1的最低位的位置即为N!中2的个数+1; 
*/
int lowestOnePos(int n) 
{ 
int ret = 0; //统计n!中含有质因数2的个数
while(n) 
{ 
n = 1; 
ret += n; 
} 
return ret+1;
}

【问题2的解法二】
N!含有质因数2的个数,还等于N减去N的二进制表示中1的数目。我们还可以通过这个规律来求解。
下面对这个规律进行举例说明,假设 N = 11011,那么N!中含有质因数2的个数为 N/2 + N/4 + N/8 + N/16 + …
复制代码 代码如下:
即:

1101 + 110 + 11 + 1 
=(1000 + 100 + 1) 
+(100 + 10) 
+(10 + 1) 
+ 1 
=(1000 + 100+ 10 + 1)+(100 + 10 + 1)+ 1 
= 1111 + 111 + 1 
=(10000 -1)+(1000 - 1)+(10-1)+(1-1) 
= 11011-N二进制表示中1的个数

小结
任意一个长度为m的二进制数N可以表示为N = b[1] + b[2] * 2 + b[3] * 22 + … + b[m] * 2(m-1),其中b [ i ]表示此二进制数第i位上的数字(1或0)。所以,若最低位b[1]为1,则说明N为奇数;反之为偶数,将其除以2,即等于将整个二进制数向低位移一位。
相关题目
给定整数n,判断它是否为2的方幂(解答提示:n0((n(n-1))==0))。
——————————————————————————–
[1] 这个规律请读者自己证明(提示N/k,等于1, 2, 3, …, N中能被k整除的数的个数)。

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关于作者:
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